Ma­te­ma­tii­ka­no­pet­ta­ja­na ajat­te­lin, et­tä kir­joi­tan­pa toi­sen­kin ker­ran pe­rus­las­ku­toi­mi­tuk­sis­ta, jot­ka useim­mat luu­le­vat tun­te­van­sa.

Ker­to­las­ku

Ker­to­las­ku on kar­ke­as­ti ot­ta­en sa­man­lais­ten osas­ten yh­teen­las­kun no­peut­ta­mis­ta. Ker­to­las­ku on kui­ten­kin sen ver­ran te­o­reet­tis­ta, et­tä kaik­kien ajat­te­lu­tai­dot ei­vät rii­tä sen hah­mot­ta­mi­seen. Ja tämä han­ka­luus py­ri­tään pe­rus­kou­lus­sa kor­jaa­mal­la sil­lä, et­tä ker­to­las­ku­ja po­si­tii­vi­sil­la ko­ko­nais­lu­vuil­la ope­tel­laan ul­koa. En ole ihan var­ma, tuot­taa­ko se enem­män osaa­mis­hyö­tyä vai ma­te­ma­tiik­ka­vi­haa.

Esi­merk­ki 1. Jos Jus­sil­la on 3 kah­den eu­ron ko­lik­koa, pal­jon­ko hä­nel­lä on ra­haa. Sen si­jaan, et­tä las­ket­tai­siin 2€+2€+2€=6€, voi­daan sama las­ku kir­joit­taa ker­to­las­ku­na 3x2€=6€. (Käy­tin täs­sä nyt ker­to­merk­ki­nä x-kir­jain­ta, jota käy­tet­tiin ai­na­kin vie­lä 60-lu­vul­la, mut­ta sen kans­sa tuli on­gel­mia, kun pe­rus­kou­lun myö­tä kaik­kien piti op­pia al­geb­raa, jos­sa x on­kin tun­te­ma­ton, joka pi­täi­si rat­kais­ta. Se vaih­det­tiin siis kes­kel­lä ruu­tua ole­vaan pis­tee­seen, joka taas tie­to­ko­neel­la ja las­ki­mis­sa on han­ka­la mer­ki­tä.)

Ker­to­las­kuun tu­lee kui­ten­kin uu­sia ulot­tu­vuuk­sia luon­non­tie­tei­den myö­tä.

Esi­merk­ki 2. Mo­nen­ko Vol­tin pa­ris­to pi­tää saa­da tas­ku­lamp­puun, et­tä polt­ti­mol­le tu­lee 3 Am­pee­rin vir­ta tas­ku­lam­pun re­sis­tans­sin ol­les­sa 2 oh­mia? (Te­o­reet­ti­nen tas­ku­lamp­pu.) Fy­sii­kas­ta opi­taan, et­tä jän­ni­te on vir­ta ker­taa re­sis­tans­si. Eli Jän­ni­te=3Ax2Ω = 6V. Tätä ei enää yh­teen­las­ku­na voi se­lit­tää.

Ker­to­las­ku on yh­teen­las­kun ta­voin vaih­dan­nai­nen: siis et­tä sen osas­ten eli tu­lon­te­ki­jöi­den paik­kaa voi­daan vaih­taa. Mut­ta vaik­ka tu­los on sama, ky­sees­sä ei ole sama las­ku.

Esi­merk­ki 3. Jus­sil­la on sääs­tö­pos­sus­saan kak­si vii­den eu­ron se­te­liä. Hä­nel­lä on siis 2x5€. Pe­kal­la puo­les­taan on sääs­tö­pos­sus­saan vii­si kah­den eu­ron ko­lik­koa. Hä­nel­lä on siis 5x2€. Mo­lem­mil­la on yh­tä pal­jon ra­haa, mut­ta kyl­lä re­aa­li­maa­il­mas­sa ra­ha­mää­rät näyt­tä­vät ai­van eri­lai­sil­ta.

Ja­ko­las­ku

Ja­ko­las­ku on nu­me­raa­li­ses­ti ker­to­las­kun kään­teis­las­ku­toi­mi­tus. Mut­ta tä­tä­kin on jo pe­rus­kou­lus­sa ai­na­kin kol­mea la­jia: si­säl­tö- ja osi­tus­ja­koa sekä suh­tei­ta.

Esi­merk­ki 4. Tas­ku­ka­me­raan tar­vi­taan 6 Vol­tin jän­ni­te. Mon­ta­ko sar­jaan kyt­ket­tä­vää 1,5 Vol­tin pa­ris­toa tar­vi­taan, et­tä saa­daan yh­teen­sä 6 Vol­tin jän­ni­te. Si­säl­tö­ja­os­sa ky­sy­tään, mon­ta­ko ker­taa ja­ka­ja (1,5V) si­säl­tyy ja­et­ta­vaan (6V). Vas­taus on jo­ta­kin muu­ta laa­tua kuin läh­tö­lu­vut.

6V:1,5V=4. Vas­taus on siis 4 kpl pa­ris­to­ja.

Esi­merk­ki 5. Jos Jus­sil­la on kuu­si eu­roa ja Pe­kal­la on kak­si eu­roa. Jos he päät­tä­vät ja­kaa ra­han­sa uu­des­taan si­ten, et­tä kum­pi­kin saa sa­man sum­man, pal­jon­ko ku­kin saa. 6€+2€=8€. Yh­teen­sä siis po­jil­la on 8 eu­roa, joka tu­li­si ja­kaa ta­san kah­del­le. 8€:2=4€. Vas­taus on, et­tä kum­pi­kin sai­si 4 eu­roa. Osi­tus­ja­os­sa on siis kyse ta­sa­koi­koi­siin osiin ja­ka­mi­ses­ta, ta­sa­ja­os­ta.

Esi­merk­ki 6. Jus­sil­la on kuu­si eu­roa ja Pe­kal­la yk­si eu­ro. He päät­tä­vät yh­des­sä os­taa to­ril­ta 7 eu­roa mak­sa­van bän­di­hui­vin. He päät­tä­vät ja­kaa käyt­tö­vuo­rot si­joit­ta­man­sa ra­han suh­tees­sa. Mo­ne­na­ko päi­vä­nä vii­kos­sa Jus­si saa käyt­tää hui­via= Jus­sin si­joi­tus suh­tees­sa hui­vin os­to­hin­taan on kuu­den suh­de seit­se­mään, joka kir­joi­te­taan ma­te­maat­ti­ses­ti 6:7. (Näi­tä nä­kee eri­tyi­ses­ti kart­to­jen mit­ta­suh­teis­sa.) Kos­ka me tie­däm­me, et­tä vii­kon päi­viä on seit­se­män, voim­me ja­kaa vii­kon seit­se­mään osaan ja ja­kaa vii­kon päi­vät ra­ha­mää­rän suh­tees­sä.

7(päi­vää):7=1(päi­vä) ja 6x1(päi­vä)=6(päi­vää). Saam­me sel­vil­le, et­tä Jus­sil­la on kuu­den päi­vän käyt­tö­oi­keus vii­kos­sa.

Sit­ten on vie­lä mur­to­lu­vut eli ra­ti­o­naa­li­lu­vut, jot­ka ovat myös yh­den sor­tin ja­ko­las­kua, jos­sa sel­vi­te­tään mikä osa ko­ko­nai­suu­des­ta jo­kin on.

Esi­merk­ki 7. Jus­sil­la on kuu­si eu­roa ja Pe­kal­la kak­si eu­roa. Kun po­jat lait­ta­vat ra­han­sa sa­maan kuk­ka­roon, mikä osa ra­hois­ta on Jus­si, en­tä Pe­kan? Ra­hois­ta kuu­si kah­dek­sak­sa­so­saa eli 6/8 on Jus­sin. Ja Pe­kan on vas­taa­vas­ti lo­put eli 1-6/8 =2/8.

Nämä 6/8 ja 2/8 voi­tai­siin tie­ten­kin myös su­pis­taa, joka se­kin on tek­ni­ses­ti ja­ko­las­kua, mut­ta ei oi­ke­as­ti ole, kos­ka sii­nä ei läh­tö­ar­von suu­ruus muu­tu mi­hin­kään suun­taan. Ja it­se asi­as­sa su­pis­ta­mi­ses­sa pie­nem­piä pa­lo­ja muu­te­taan isom­mik­si sa­mal­la, kun mur­to­lu­vun osoit­ta­jan ja ni­mit­tä­jän nu­me­ro­ar­vot pie­ne­ne­vät. Sii­nä­pä on­kin pään­vai­vaa 10-vuo­ti­ail­le lap­sil­le. Ai­kui­sil­le tämä oli it­ses­tään­sel­vyys?

Ker­taus

Ker­to­las­kun merk­ki­nä on pis­te ja tu­lon­te­ki­jät ker­to­mal­la saa­daan tulo. Ja­ko­las­kun merk­kei­nä ovat kak­sois­pis­te ja ja­ko­vii­va ja kun ja­et­ta­va ja­e­taan ja­ka­jal­la saa­daan osa­mää­rä.

Jaak­ko Vii­ta­la